George Polya citations célèbres

Les mathématiques sont la science la moins chère. Contrairement à la physique ou à la chimie, il ne nécessite aucun équipement coûteux. Tout ce dont on a besoin pour les mathématiques est un crayon et du papier.

Une grande découverte résout un grand problème, mais il y a un grain de découverte dans la solution de tout problème. Votre problème est peut-être modeste, mais s'il met au défi votre curiosité et met en jeu vos facultés inventives, et si vous le résolvez par vos propres moyens, vous pouvez ressentir la tension et profiter du triomphe de la découverte.

Par où dois-je commencer? Commencez par l'énoncé du problème. ... Que puis-je faire? Visualisez le problème dans son ensemble aussi clairement et aussi vivement que possible. ... Que puis-je gagner en faisant cela? Vous devez comprendre le problème, vous familiariser avec lui, imprimer son but dans votre esprit.

Même les assez bons étudiants, lorsqu'ils ont obtenu la solution du problème et écrit soigneusement l'argument, ferment leurs livres et cherchent autre chose. Ce faisant, ils passent à côté d'une phase importante et instructive du travail. ... Un bon enseignant doit comprendre et faire comprendre à ses élèves qu'aucun problème n'est complètement épuisé.

La beauté en mathématiques est de voir la vérité sans effort.

Pédanterie et maîtrise sont des attitudes opposées envers les règles. Appliquer une règle à la lettre, de manière rigide, sans poser de questions, dans les cas où elle convient et dans les cas où elle ne convient pas, c'est du pédantisme. [...] Appliquer une règle avec une aisance naturelle, avec jugement, en remarquant les cas où elle s'adapte, et sans jamais laisser les mots de la règle obscurcir le but de l'action ou les opportunités de la situation, c'est la maîtrise.

Si vous souhaitez apprendre à nager, vous devez aller dans l'eau et si vous souhaitez devenir un résolveur de problèmes, vous devez résoudre des problèmes.

Épitaphe sur Newton: La nature et la loi de la nature étaient cachées dans la nuit: Dieu a dit: "Que Newton soit!, "et tout était léger. [ajouté par Sir John Collings Squire: Cela n'a pas duré: le Diable criant "Ho. Laissons Einstein être, " restauré le statu quo] [La version d'Aaron Hill: Sur les lois de la nature, Dieu jeta le voile de la nuit, l'âme d'un Newton s'évanouit et tout était lumière.

Ma méthode pour surmonter une difficulté est de la contourner.

Pour traduire une phrase de l'anglais vers le français, deux choses sont nécessaires. Tout d'abord, nous devons bien comprendre la phrase anglaise. Deuxièmement, il faut connaître les formes d'expression propres à la langue française. La situation est très similaire lorsque nous essayons d'exprimer en symboles mathématiques une condition proposée en mots. Premièrement, nous devons bien comprendre la condition. Deuxièmement, nous devons être familiers avec les formes d'expression mathématique.

La résolution de problèmes est une compétence pratique comme, disons, la natation. Nous acquérons toute compétence pratique par imitation et pratique. En essayant de nager, vous imitez ce que les autres font avec leurs mains et leurs pieds pour garder la tête hors de l'eau, et, enfin, vous apprenez à nager en pratiquant la natation. En essayant de résoudre des problèmes, vous devez observer et imiter ce que font les autres lorsqu'ils résolvent des problèmes, et, enfin, vous apprenez à résoudre des problèmes en les faisant.

S'il y a un problème que vous ne pouvez pas résoudre, alors il y a un problème plus facile que vous ne pouvez pas résoudre: trouvez-le.

La première règle du style est d'avoir quelque chose à dire. La deuxième règle de style est de vous contrôler lorsque, par hasard, vous avez deux choses à dire; dites d'abord l'une, puis l'autre, pas les deux en même temps.

Je suis trop bon pour la philosophie et pas assez bon pour la physique. Les mathématiques sont entre les deux.

Les mathématiques ne sont pas un sport de spectateur!

Les mathématiques consistent à prouver la chose la plus évidente de la manière la moins évidente.

Le succès dans la résolution du problème dépend du choix du bon aspect, de l'attaque de la forteresse de son côté accessible.

Il vaut mieux résoudre un problème de cinq manières différentes que de résoudre cinq problèmes d'une seule manière.

Les mathématiques ont deux visages: c'est la science rigoureuse d'Euclide, mais c'est aussi autre chose. Les mathématiques présentées de la manière euclidienne apparaissent comme une science systématique et déductive; mais les mathématiques en devenir apparaissent comme une science expérimentale et inductive. Ces deux aspects sont aussi anciens que la science des mathématiques elle-même.

La manière d'exposition d'Euclide, progressant sans relâche des données à l'inconnu et de l'hypothèse à la conclusion, est parfaite pour vérifier l'argument en détail mais loin d'être parfaite pour rendre compréhensible la ligne principale de l'argument.

L'analogie imprègne toutes nos pensées, notre langage quotidien et nos conclusions triviales ainsi que les modes d'expression artistiques et les plus hautes réalisations scientifiques.

Afin de résoudre cette équation différentielle, vous la regardez jusqu'à ce qu'une solution vous vienne à l'esprit.

Dans la" commentatio " (note présentée à l'Académie russe) dans laquelle son théorème sur les polyèdres (sur le nombre de faces, d'arêtes et de sommets) a été publié pour la première fois, Euler ne donne aucune preuve. Au lieu d'une preuve, il propose un argument inductif: il vérifie la relation dans une variété de cas particuliers. Il ne fait guère de doute qu'il a également découvert le théorème, comme beaucoup de ses autres résultats, de manière inductive.

J'évite intentionnellement le terme standard qui, soit dit en passant, n'existait pas à l'époque d'Euler. L'une des excroissances les plus laides des "nouvelles mathématiques" a été l'introduction prématurée de termes techniques.

Un mathématicien qui ne peut que généraliser est comme un singe qui ne peut que grimper à un arbre, et un mathématicien qui ne peut que se spécialiser est comme un singe qui ne peut que descendre d'un arbre. En fait, ni le singe haut ni le singe bas ne sont une créature viable. Un vrai singe doit trouver de la nourriture et échapper à ses ennemis et doit donc pouvoir monter et descendre sans cesse. Un vrai mathématicien doit être capable de généraliser et de se spécialiser.

Hilbert avait une fois un étudiant en mathématiques qui a cessé de venir à ses cours, et on lui a finalement dit que le jeune homme était parti pour devenir poète. Hilbert aurait fait remarquer: "Je n'ai jamais pensé qu'il avait assez d'imagination pour être mathématicien.'

Le principe est si parfaitement général qu'aucune application particulière n'est possible.

Le premier et principal devoir du lycée dans l'enseignement des mathématiques est de mettre l'accent sur le travail méthodique de résolution de problèmes...L'enseignant qui souhaite servir également tous ses élèves, futurs utilisateurs et non utilisateurs des mathématiques, devrait enseigner la résolution de problèmes de manière à ce qu'il s'agisse d'environ un tiers de mathématiques et deux tiers de bon sens.

Écrire et parler correctement est certainement nécessaire; mais ce n'est pas suffisant. Une dérivation correctement présentée dans le livre ou au tableau peut être inaccessible et peu instructive, si le but des étapes successives est incompréhensible, si le lecteur ou l'auditeur ne peut pas comprendre comment il était humainement possible de trouver un tel argument....

Une idée qui peut être utilisée une fois est une astuce. S'il peut être utilisé plus d'une fois, il devient une méthode.

La meilleure des idées est blessée par une acceptation non critique et se nourrit d'un examen critique.

Une GRANDE découverte résout un grand problème, mais il y a un grain de découverte dans tout problème.

L'élégance d'un théorème mathématique est directement proportionnelle au nombre d'idées indépendantes que l'on peut voir dans le théorème et inversement proportionnelle à l'effort qu'il faut pour les voir.

Le monde est impatient d'admirer ce sommet et ce point culminant des mathématiques modernes: un théorème si parfaitement général qu'aucune application particulière n'est possible.

Très souvent, lorsqu'une idée qui pourrait être utile se présente, nous ne l'apprécions pas, car elle est si discrète. L'expert n'a peut-être pas plus d'idées que l'inexpérimenté, mais apprécie davantage ce qu'il a et l'utilise mieux.

Pour enseigner efficacement, un enseignant doit développer un sentiment pour sa matière; il ne peut pas faire ressentir à ses élèves sa vitalité s'il ne la ressent pas lui-même. Il ne peut pas partager son enthousiasme quand il n'a pas d'enthousiasme à partager. La façon dont il fait valoir son point de vue peut être aussi importante que le point qu'il fait valoir; il doit personnellement le sentir important.

L'enseignant peut rarement se permettre de manquer les questions: Qu'est-ce que l'inconnu? Quelles sont les données? Quelle est la condition? L'étudiant doit examiner attentivement les parties principales du problème, à plusieurs reprises et de divers côtés.

L'un des premiers devoirs de l'enseignant est de ne pas donner à ses élèves l'impression que les problèmes mathématiques ont peu de liens les uns avec les autres, et aucun lien du tout avec quoi que ce soit d'autre. Nous avons une opportunité naturelle d'étudier les connexions d'un problème en regardant en arrière sa solution.

Si vous ne pouvez pas résoudre le problème proposé, essayez d'abord de résoudre un problème connexe.

Il y a beaucoup de questions que les imbéciles peuvent poser auxquelles les sages ne peuvent pas répondre.

La première règle de la découverte est d'avoir du cerveau et de la chance. La deuxième règle de la découverte est de rester assis et d'attendre d'avoir une idée brillante.

Lorsqu'elle est introduite au mauvais moment ou au mauvais endroit, une bonne logique peut être le pire ennemi d'un bon enseignement.

Les mathématiques, c'est être paresseux. Les mathématiques laissent les principes faire le travail pour vous afin que vous n'ayez pas à faire le travail pour vous-même

La géométrie est la science du raisonnement correct sur des figures incorrectes.

Le secret de polichinelle du vrai succès est de jeter toute votre personnalité dans votre problème.

Il y avait un sà © minaire pour les à © tudiants avancà © s à Zürich que j'enseignais et von Neumann à © tait dans la classe. Je suis arrivé à un certain théorème, et j'ai dit que ce n'était pas prouvé et que cela pouvait être difficile. Von Neumann ne dit rien mais au bout de cinq minutes, il leva la main. Quand je l'ai appelé, il est allé au tableau et a commencé à écrire la preuve. Après cela, j'ai eu peur de von Neumann.

Si la preuve part d'axiomes, distingue plusieurs cas et prend treize lignes dans le manuel ... cela peut donner aux jeunes l'impression que les mathématiques consistent à prouver les choses les plus évidentes de la manière la moins évidente.

Le futur mathématicien ... devrait résoudre les problèmes, choisir les problèmes qui sont dans sa ligne, méditer sur leur solution et inventer de nouveaux problèmes. Par ce moyen, et par tous les autres, il devrait s'efforcer de faire sa première découverte importante: il devrait découvrir ses goûts et ses aversions, son goût, sa propre ligne.

Regardez autour de vous lorsque vous avez obtenu votre premier champignon ou fait votre première découverte: ils poussent en grappes.

Si vous devez prouver un théorème, ne vous précipitez pas. Tout d'abord, comprenez bien ce que dit le théorème, essayez de voir clairement ce qu'il signifie. Ensuite, vérifiez le théorème; il pourrait être faux. Examinez les conséquences, vérifiez autant de cas particuliers que nécessaire pour vous convaincre de la vérité. Lorsque vous vous êtes assuré que le théorème est vrai, vous pouvez commencer à le prouver.